Wiskundige raadsels op oude tabletten

‘As I was going to St Ives’ is de eerste zin van een bekend Brits kinderversje, dat een rekenkundig raadsel beschrijft. Dit raadsel blijkt zijn oorsprong te hebben op een meer dan 3600 jaar oude papyrus uit Egypte.

Het raadsel in het kader hierboven, As I was going to St Ives, is een traditioneel Brits kinderversje en een bekend wiskundig raadsel. De oorsprong van het raadsel bljikt echter al gelegen in het oude Egypte. Dat heeft Milo Gardner ontdekt na een uitgebreide studie van Egyptische manuscripten.

Uit deze zogenaamde Rhind Papyrus blijkt het wiskundige vernuft in het oude Egypte. Het bevat onder meer een puzzel die een boel zevens bevat en een opvallende gelijkenis vertoont met het St Ives raadsel.
 In plaats van vrouwen, zakken en katten gaat het in de Rhind Papyrus om katten, muizen en graan, maar de essentie is hetzelfde: zeven huizen hebben elk zeven katten, elke kat eet zeven muizen, en elke muis eet zeven graankorrels. Elke graankorrel bevat zeven hekat vezels. (Een hekat is een in het oude Egypte gebruikte volume-eenheid). Het doel is om te bepalen hoeveel dingen er worden beschreven. (Het antwoord staat aan het eind van dit artikel.)

Rhind Papyrus

De Rhind Papyrus werd in 1828 door de Schotse Egyptoloog Alexander Henri Rhind in Thebe gevonden. Dit document dateert uit ongeveer 1650 voor Christus en is daarmee een van de oudst bekende documenten over wiskunde.
Het ligt in het British Museum in Londen, waar ook de Egyptian Mathematical Leather Roll gehuisvest is. Andere vergelijkbare tabletten zijn de Moscow Mathematical Papyrus (in het Pushkin State Museum of Fine Arts in Moskou) en de houten Achmim-tabletten (in het Museum van Egyptische Oudheden in Caïro). Afbeelding: © British Museum

De meer dan 3600 jaar oude papyrus beschrijft onder meer methoden voor het meten van de mast en het roer van een schip, formules voor het volume van cilinders en piramiden en de waarde van brood uitgedrukt in liters bier (nuttig voor de ruilhandel!).
Sommige tabletten bevatten zelfs vroege benaderingen van het getal pi: op een tablet wordt de waarde 16²/9² (= 256/81) gebruikt, wat ongeveer gelijk is aan 3,16 en dus iets boven de werkelijke waarde ligt: 3,14159…

“Het maken van puzzels is een van de oudste instincten”, zegt Marcel Danesi in The New York Times. Danesi is hoogleraar antropologie aan de universiteit van Toronto en een puzzelliefhebber. “Documenten als de Rhind Papyrus zijn de eerste puzzelboeken uit de geschiedenis”, aldus Danesi. Het maken van puzzels is van alle tijden en van alle culturen. Danesi denkt dat dat komt omdat puzzels eenduidige oplossingen hebben.
Als je eruit bent, geeft dat een voldaan gevoel. Daarom lossen veel mensen ook zo graag een sudoku op.

Maar de Egyptische puzzels waren niet alleen recreatief bedoeld. In de Rhind Papyrus wilde de schrijver, bekend als Ahmes, nuttige toepassingen geven en correcte rekenmethoden presenteren. Verder bevat de papyrus tekeningetjes die breuken vertegenwoordigen: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 en 1/64. Egyptenaren rekenden met stambreuken, dat zijn breuken met een 1 in de teller.

De problemen in Rhind Papyrus zijn, gemeten naar de huidige maatstaven, niet moeilijk. De uitdaging voor wetenschappers is om te ontcijferen om welke raadsels het precies gaat en de juistheid ervan te controleren.
Fouten zijn al gevonden; ook in het op St Ives lijkende raadsel, waarin Ahmes een foutje maakte. Terwijl het toch echt niet zo moeilijk is: de juiste oplossing is 7 + 7² + 7³ + 7⁴ + 7⁵ = 19607. (En het antwoord van het Engelse St Ives raadsel is 1 + 1 + 7 + 7² + 7³ + 7⁴ = 2802; al hangt het er maar net vanaf hoe je de opgave interpreteert: het is niet gezegd dat die zeven vrouwen (met die zakken en die katjes en babykatjes) met die man meegaan naar St Ives, dus het antwoord 2 (‘I’ en ‘a man’) is ook verdedigbaar, en zelfs het antwoord 1 (‘I’) is verdedigbaar, omdat de ik-persoon in het versje die man kan zijn tegengekomen tijdens zijn reis naar St Ives, maar dat wil nog niet zeggen dat die man dezelfde bestemming had… Zo slecht waren die oude Egyptenaren dus niet: de Rhind-Papyrusversie laat minder ruimte voor verschillende interpretaties!)