
Soms hebben we een geheugensteuntje nodig, een hulpmiddeltje om iets te onthouden, dat we zonder dat steuntje gemakkelijk vergeten. We noemen dat een mnemotechnisch middel en dat is een duur woord voor een geheugentechniekje, want mnemosynè is Grieks voor ‘geheugen’.
Dat steuntje is iets dat zich gemakkelijker laat onthouden dan dat wat we echt willen vastleggen in ons geheugen. Het kan daarbij best zijn dat het steuntje op zichzelf niets betekent, een nonsens-woord, dat we precies daarom gemakkelijk onthouden. Enkele voorbeelden maken dat duidelijk.
Niemand weet wat een kofschip is, maar we hebben er allemaal wel al over gehoord. Het was een simpel (?) trucje dat de leraar Nederlands ons vertelde om geen fouten te maken bij het vormen van de verleden tijd en het voltooid deelwoord; werkwoorden waarvan de stam eindigt op een van de medeklinkers van ’t kofschip hebben een verleden tijd op –te en een voltooid deelwoord op –t, zoals wekken, wekte, gewekt en passen, paste gepast; de andere hebben –de en –d zoals leven, leefde geleefd. Een ander hulpwoord hiervoor is fokschaap. Je kan terugvinden hoeveel bulten respectievelijk een kameel en een dromedaris hebben als je telt hoeveel e’s er in hun naam staan. Maak van acht meter Japanse stof uw nieuwe pyjama helpt je het lijstje van de negen planeten in de juiste volgorde, te beginnen dichtst bij de zon: Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, Pluto. GRAS is het acroniem voor groen rechts aan stuurboord, nuttig voor zoetwatermatrozen. In het voorjaar zet je de klok een uur vooruit.
Er is ook een naam voor zo’n geheugensteuntje: een ezelsbruggetje. Dat komt van het Latijn pons asinorum een uitdrukking uit de scholastieke filosofie van rond 1500, waarbij een grafische voorstelling moest helpen om de middenterm van een syllogisme terug te vinden. Wat een syllogisme is, onthoud ik met dit valse voorbeeld: 1. Ik kan in mijn jas 2. Mijn jas kan in mijn valies 3. Dus ik kan in mijn valies.
In de eerste eeuw van onze tijdsrekening had Plinius het over ezelinnen die niet over een brug te krijgen waren als ze zagen dat er water onder liep; ze moesten er dan over geleid worden. Een pons asinorum is dus een moeilijkheid die je met een hulpmiddel kan oplossen, zoals in de voorbeelden hierboven. De naam ezelsbruggetje ging dan over van de moeilijkheid naar de oplossing: een bruggetje voor ezels, een hulpmiddeltje.
Als men het heeft over ‘het’ ezelsbruggetje, dan bedoelt men daarmee een van de bekendste stellingen uit de meetkunde, de stelling van Pythagoras (rond -500). Die stelling zegt dat het kwadraat van de langste zijde van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van het kwadraat van de beide andere zijden, of a²+b²=c². Dat er een vaste verhouding is tussen de drie zijden van een rechthoekige driehoek (bijvoorbeeld 3-4-5) wisten de mensen al meer dan tweeduizend jaar, toen Euclides het in de derde eeuw voor onze tijdrekening vermeldde in zijn leerboek meetkunde en er ook een wiskundig bewijs voor leverde. Ondertussen is het aantal bewijzen voor de stelling opgelopen tot ongeveer driehonderd; de eenvoudigste kan je zelf vinden door op ruitjespapier een vierkant te tekenen op de drie zijden van een rechthoekige driehoek; de som van de ruitjes op de zijden aan de rechte hoek is gelijk aan het aantal ruitjes op de andere zijde.
Een bijzonder geval is een dergelijke rechthoek waarvan de zijden aan de rechte hoek gelijk zijn aan 1 lengte-eenheid, want een klein beetje algebra leert ons dat de lengte van de lange zijde van de driehoek dan gelijk is aan de vierkantswortel van 2, een getal dat je kan vergelijken met het meer bekende p, dat de verhouding aangeeft tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter. De waarde deze ‘constante van Pythagoras’ Ö2 is een eindeloze reeks: 1,4142… Het is een irrationeel getal, omdat de breuk nooit opgaat. Ook dit werd al heel vroeg opgemerkt als een bijzondere verhouding tussen de zijden van een vierkant en de diagonaal, of tussen de lange zijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek en de korte zijden, wat eigenlijk hetzelfde is.
Misschien denk je nu: allemaal mooi, maar wat heb ik daaraan?
Wel, we vinden Ö2 terug in een zeer alledaags gebruiksvoorwerp, namelijk een blad papier, een A4-tje. Hoezo?
Rond 1900 begon men in Duitsland allerlei industrienormen vast te leggen, vooral om massaproductie mogelijk te maken: de Deutsche Industrienormung. Voor papier waren dat in de eerste plaats de nu bekende A-normen. Het principe waarvan men vertrok was de indeling van een vel papier van 1m², dat ligt voor de hand. Een bijkomend voordeel was dat de dikte van papier wordt uigedrukt in gram per m²; een ‘gewoon’ blad is 80 gr, maar die 80 gram is voor een heel vel van 1 m², natuurlijk. Men deelde het vel zo in, dat als men de lange zijde door twee deelde, of eenvoudiger gezegd: als men het vel dubbel vouwde, het resultaat dezelfde vorm zou hebben als het origineel. Dat is een hele opgave: als je gewoon een vierkante meter neemt en die dubbel plooit, dan is het resultaat maar half zo breed als het origineel. Men moest dus berekenen welke vaste verhouding wel het juiste resultaat zou geven en wat dacht je, die verhouding bleek 1:Ö2 te zijn! Men baseerde zich daarbij op een brief van een Duitse professor aan de universiteit van Göttingen, Georg Christoph Lichtenberg (1742–1799), die hij in 1785 aan een collega schreef en waarin hij deze wiskundige oefening vermeldde: vind een verhouding voor een vel papier, dus lengte en breedte, waarbij elke volgende deling door twee precies dezelfde verhouding tussen lengte en breedte geeft. Het resultaat verbaasde hem: het is dezelfde verhouding als die tussen de diagonaal van een vierkant en de zijde van dat vierkant, de ons ondertussen vertrouwde 1:Ö2. Hij was nog meer verbaasd toen hij aan zijn collega een model wou meesturen en een blad van die specifieke afmetingen wou knippen: bleek dat zijn briefpapier precies die afmetingen had! Dit wordt bevestigd door een verordening van de Franse Revolutie, toen zoveel werd vastgelegd op redelijke grondslag en men de ook de bestaande papierformaten uniformiseerde, met dit resultaat:
|
naam |
lengte |
breedte |
[m²] |
ISO 216 equivalent |
|
Grand registre |
0.4204 |
0.5946 |
0.2500 |
A2 = 420 × 594 |
|
Grand papier |
0.3536 |
0.5000 |
0.1768 |
B3 = 353 × 500 |
|
Moyen papier |
0.2973 |
0.4204 |
0.1250 |
A3 = 297 × 420 |
|
Petit papier |
0.2500 |
0.3536 |
0.0884 |
B4 = 250 × 353 |
|
Demi feuille |
0.2500 |
0.1768 |
0.0442 |
B5 = 176 × 250 |
|
Effets de commerce |
0.0884 |
0.2500 |
0.0221 |
1/2 B5 = 88 × 250 |
De formaten die men dus al eeuwen overal in Europa gebruikte, bleken te berusten op strikt wiskundig berekende verhoudingen. Ons A4-tje blijkt precies de helft te zijn van een vel Grand Registre uit 1789, met dezelfde verhoudingen.
Het wordt nog ingewikkelder. De rechthoek waarvan de verhoudingen 1:Ö2 zijn noemt men de zilveren rechthoek. Dat klopt niet helemaal, want de zilveren verhouding is niet het resultaat van 1:Ö2, maar de som van 1 plus Ö2, en dat is het irrationeel getal d met de waarde van 2,4142, duidelijk 1+Ö2 want de waarde van Ö2 was 1,4142. Er zijn wel merkwaardige overeenkomsten tussen de echte zilveren rechthoek en de Lichtenberg-rechthoek, maar dat zou ons nog verder leiden en dat wil ik u niet aandoen.
Die zilveren verhouding is zo genoemd naar analogie met de meer bekende gouden verhouding of gouden snede of gouden sectie, het irrationeel getal j, met de waarde 1,6180… De verhouding wordt ook uitgedrukt door de bekende reeks van Fibonacci, dit is de Italiaanse wiskundige Leonardo van Pisa, die leefde rond 1200 en die als eerste deze reeks zou opgemerkt hebben, hoewel ze al heel lang tevoren in India bekend was. Ze gaat aldus: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811… waarbij vanaf het derde getal elk getal de som is van de twee voorgaande.
Merkwaardig is dat vanaf 5 elk F-getal of Fibonacci-getal het hoogste getal is in een zogenaamd Pythagoras-drietal, zoals we er al een vermeldden: 3-4-5 als de afmetingen van de zijden van een rechthoekige driehoek. Elk F-getal is dus de lengte van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek waarvan de zijden een geheel getal zijn. De lengte van de lange zijde is de som van de drie zijden van de voorgaande driehoek in deze reeks van Fibonacci-driehoeken; de korte zijde is gelijk aan het verschil van het vorige Fibonacci-getal en de kortste zijde van de vorige driehoek.
In getallen uitgedrukt wordt het meteen duidelijk: de eerste dergelijke driehoek heeft zoals gezegd als zijden 5, 4, en 3. We slaan een F-getal uit de reeks over namelijk 8; de volgende driehoek heeft dan als zijden het F-getal 13, 12 (5+4+3), en 5 (8−3). Dan slaan we F-getal 21 over en de volgende driehoek heeft als zijden 34, 30 (13+12+5), en 16 (21−5) en zo verder tot in het oneindige…
Over de gouden snede bestaat een schier eindeloze literatuur. Men vindt ze onder meer terug in de Egyptische piramiden.
Onze reis begon op een Romeins ezelsbruggetje, ging langs de Franse Revolutie en eindigt bij de piramiden in Egypte. Bedankt dat je me zover wou volgen.