Vier maal vijf is twintig, dat is er bij mij in het tweede studiejaar ingedramd toen we de tafels van vermenigvuldiging zo vaak herhaalden dat we ze voor de rest van ons leven bij de hand hebben. Dat is wel gemakkelijk, eerlijk gezegd, bij het hoofdrekenen; je kan altijd naar dat gedreun teruggrijpen.
Het kwadraat van vier is zestien. Tel daar nog eens vier bij en je krijgt ook twintig.
Wat blijkt? De som van een getal en zijn kwadraat is gelijk aan het product van dat getal en het getal dat erop volgt, en omgekeerd, natuurlijk. Dat is niet enkel zo bij vier en vijf, maar bij alle opeenvolgende gehele getallen, bijvoorbeeld 20 en 21, want 20² plus 20 is 420 en 20x21=420, je kan zelf nog verder proberen.
In wiskundetaal: n² + n = n x (n+1)
Dat lijkt ingewikkelder dan het is, want het kwadraat is gewoon het getal vermenigvuldigd met zichzelf; als je het getal daar nog eens bijtelt, is dat hetzelfde als het getal vermenigvuldigen met een getal dat één groter is dan zichzelf, QED.
Zo’n getal, dat dus het product is van twee opeenvolgende gehele getallen, noemt men een pronikgetal.
Dit zijn de eerste pronikgetallen: 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462 …
Van Dale… nee, hij weet niet waar ‘pronik’ vandaan komt, behalve dan van het middeleeuws Latijn numerus pronicus, dan beweert hij met grote stelligheid: verdere etymologie onbekend; ja, bij Van Dale wel, ja. Want pronicus is toch een neefje van pronus, zoals we in het Engelse prone nog zien: geneigd tot, neigend naar, aanleunend bij en dat maakt het meteen duidelijk, want de twee factoren van een proniek getal staan naast elkaar, leunen tegen elkaar aan, zoals vier en vijf of twintig en eenentwintig. Zo moeilijk is dat toch niet? En als je iets niet weet, maak daar dan geen zaak van maar zwijg dan discreet, zoals je zo vaak doet, Van Dale, dan riskeer je niet dat een simpele gepensioneerde het weer beter wil weten.
Men noemt pronikgetallen ook oblonge getallen, oblong betekent langwerpig, en dit is waarom:
Men noemt ze in het Engels ook heteromecic en dat is Grieks heteromèkès: van ongelijke lengte, de ene zijde is langer dan de andere; men zegt ook: prolate en dat is Latijn prolatus: uitgerokken; men bedoelt dat als je het getal grafisch voorstelt, je een rechthoek krijgt, geen vierkant, zie verderop: tetragonale getallen. Merk op dat alle pronikgetallen ‘heteromeek’ zijn (kent iemand de Nederlandse term? Van Dale niet…), de grafische voorstelling is een rechthoek, geen vierkant; maar niet alle heteromeke getallen zijn proniks: 10 is heteromeek, want 2x5, maar niet proniek, want die twee getallen volgen niet opeen.
Proniks zijn het dubbel van trigonale getallen en dat is Grieks (drie-hoekig) voor een getal dat het aantal punten voorstelt als je driehoeken bouwt: je begint met een lijn en daarop twee punten, dan een punt tussen en boven die twee:
*
* *
Dan drie punten op een lijn, twee ertussen en boven en dan één daartussen en boven, geeft zes:
*
* *
* * *
en zo verder. Tel het aantal punten: dat zijn trigonale (driehoekige) getallen. De eerste zijn: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55.
Wiskundig schrijf je een trigonaal getal zo: ½ n (n+1) zoals ½ van 5 vermenigvuldigd met vijf plus een of 2,5 maal zes, dus vijftien, probeer het eens met een ander getal.
We zitten hier bij de figuurlijke getallen, rijen van de natuurlijke getallen die je grafisch kan voorstellen. Blijven we in één vlak, dan zijn het veelhoekige of polygone getallen.
Naast de driehoekige getallen heb je ook tetragonale of ‘vierhoekige’ getallen: dat zijn de kwadraten. Die zijn vierkant, natuurlijk, wiskundig het simpele n². Een getal is een kwadraat, en alleen dan, als je zoveel punten precies in een vierkant kan zetten:
. . . . .
. . . . .
. . .
De eerste kwadraten zijn 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849.
Als je vijfhoeken bouwt zoals daarnet de driehoeken, wat je met enige verbeelding wel kan, zoek anders eens pentagonal numbers op in Wikipedia, daar krijg je een mooie bewegende visuele demonstratie, dan krijg je pentagonale getallen. Dit zijn de eerste: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001.
Wiskundig is dat n²+ ½ n (n-1) zoals in 5² plus 2,5 maal 4 of 25 plus tien is 35.
Als we getallen ook ruimtelijk gaan voorstellen, dan gaan we van polygoonaal naar polyeders of veelvlakken.
Acht is een kubiek getal, want voor een kubus, dat is een zesvlak of een hexaëder, heb je acht punten nodig. Acht kan je ook zo schrijven: 2³, dat is 2x2x2. Dit zijn de eerste kubieke getallen: 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791.
Een piramide met als basis een driehoek is een tetraëder en die heeft vier punten, dus vier is een trigonaal piramidaal getal. Dit zijn de eerste in die reeks: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … Merk op dat het n-de getal van deze reeks de som is van de eerste n trigonale getallen hierboven, bijvoorbeeld 1+3+6+10+15 = het vijfde uit de reeks: 35.
Vijf is dan weer een tetragonaal piramidaal getal, want met vijf punten maak je een vierzijdige piramide en dat is een vijfvlak of een pentaëder. De eerste tetragonale piramidale getallen zijn: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819.
Al die en nog meer grafische voorstellingen van getallen kende men al in de tijd van Pythagoras (-500). Het principe was dat van het voortbouwen, telkens met één eenheid, de gnomon, zoals we deden met onze driehoekjes: hoeveel punten heeft een driehoek die net groter is dan een met drie punten? Evenzo met de kubussen: hoeveel punten heeft een kubus die net groter is dan die met acht punten?
Denk ook eens aan ons verhaal van enkele dagen geleden over het A4-formaten (zie het lijstje hiernaast): ook daar bleef de vorm constant bij verschillende afmetingen, volgens de verhouding 1 op de vierkantswortel van 2 of 1:Ö2. De reeks van Fibonacci die we daar vermeldden is net zo’n speciale reeks als de figuurlijke getallenreeksen die we hier bespraken. Men spreekt ook van recreatieve getallen of van recreatieve wiskunde, een beetje wat wij nu met sudoku doen.
Het moet een fascinerende bezigheid geweest zijn om die fascinerende en verrassende eigenschappen van simpele getallen te ontdekken. Het waren de eerste verkenningen in de wiskunde, die onder meer toelieten vierkantswortels te berekenen.
Als je op een feestje niet meer weet wat zeggen tegen je tafeldame of -heer, vraag dan eens wat een pronikgetal is?
Op de foto: een magisch vierkant, het allereerste, ontdekt in China door Lo Shu, met alle cijfers van 1 tot 9 zo gerangschikt dat de som in alle richtingen 15 is.