Adequate kennis en lichamelijke complexiteit in Spinoza’s opvatting van het bewustzijn*

Andrea Sangiacomo

(Universiteit van Macerata, Italië / École Normale Supérieure de Lyon, France)

Andrea Sangiacomo, Adequate Knowledge and Bodily Complexity in Spinoza’s Account of Consciousness, in Methodus, 6 (2011), pp. 77-104. Met toestemming van de auteur vertaald door Karel D’huyvetters © 2014. Met dank aan Manon Zuiderwijk voor het proeflezen.

Hier gaat het zicht verloren

En op weg naar het denken

Gaat het stuk, gaat het ten onder.

Zoals het om zich te overstijgen

Bij elke stap de prijs betaalt

Van het lichaam.

V. Magrelli, Ora serrata retinae

Abstract

Het is mijn bedoeling in dit artikel Spinoza’s bewustzijnstheorie te behandelen; mijn stelling is dat bewustzijn de uitdrukking is van lichamelijke complexiteit, gesteld in termen van adequate kennis. Vooreerst stel ik het verband voor dat Spinoza opbouwt in het tweede deel van de Ethica tussen het mentale vermogen tot zelfkennis en de theorie van het idea ideae. Ten tweede toon ik aan op welke manier bewustzijn het resultaat blijkt te zijn van adequate kennis die ontstaat vanuit de epistemologische resources van een lichaam zo complex als dat van de mens. Ten derde behandel ik een mogelijke objectie die kan ontstaan wanneer men onze dagdagelijkse bewustzijnservaring beschouwt. Ik kom tot het besluit dat bewustzijn, begrepen in termen van adequate kennis, coherent is met zowel onze fenomenologische ervaring als met Spinoza’s teksten. Een dergelijke interpretatie maakt het mogelijk Spinoza’s afwijzing te benadrukken van Descartes’ opvatting over bewustzijn.

Sleutelwoorden: Spinoza, bewustzijn, lichamelijke complexiteit, gemeenschappelijke noties, idee van een idee, adequate kennis.

* Ik wens mijn dank te betuigen aan Michael Della Rocca, Don Garrett, Steven Nadler, Luis Placencia, Jeffery Pretti, Ursula Renz, Daniel Schneider en enkele anonieme referenten voor hun belangrijke suggesties over dit onderwerp. Ik dank ook Eric Schliesser voor de gelegenheid die hij mij geboden heeft om een eerste presentatie te geven van dit artikel op zijn Spinoza-workshop aan de Universiteit Gent in december 2010. Voor wat er nog onjuist in dit artikel zou staan, neem ik de uitsluitende verantwoordelijkheid.

Bijlagen:
Adequate kennis en lichamelijke complexiteit in Spinoza.pdf (335.9 KB)   

Mensen die een geliefde verloren hebben, getuigen vaak achteraf over voortekenen die ze hebben gehad van het overlijden van die geliefde. Dat overkwam ook Pieter Balling, een van de dierbaarste vrienden van Spinoza, wiens zoon overleed in 1664. Hij herinnert zich dat toen zijn zoon nog leefde en in goede gezondheid verkeerde, hij in zijn dromen ooit ‘gezucht’ hoorde, dat nadien verrassend sterk overeen bleek te komen met het hartverscheurende reële kreunen en steunen tijdens de ziekte en de doodsstrijd van zijn zoon. En dus vraagt hij (in een brief die niet bewaard gebleven is) aan zijn vriend Spinoza of die droom een voorteken was van wat nadien gebeurd is.

Spinoza behandelt de vraag van zijn vriend delicaat, maar gedecideerd: dergelijke voortekenen bestaan niet (zie onze vertaling van Brief 17 op de website). Hoe komt het dan dat we toch de ervaring hebben van klare, zij het vermeende voortekenen? Ook daarover is Spinoza duidelijk: het lijdt geen twijfel dat zoiets in onze gedachten wel degelijk gebeurt. Alleen moeten we goed bedenken waar het precies om gaat.

Vooreerst wijs Spinoza erop dat het niet gaat om echte en dus betrouwbare zintuiglijke waarnemingen, maar om droombeelden. Hij verbindt het voorbeeld van zijn vriend Pieter Balling met een eigen droomervaring. In beide gevallen gaat het om de herinnering aan droombeelden, die echter vaag is en verdwijnt zodra men klaar wakker is en zijn aandacht op een concreet voorwerp richt. Bij Spinoza ging het ook niet echt om een voorteken: hij heeft later geen werkelijke ontmoeting gehad met de schurftige kleurling uit zijn nachtmerrie. Pieter Balling zag daarentegen een opvallende en blijkbaar verontrustende gelijkenis tussen zijn eerdere droom en de latere gebeurtenissen. Hoe is dat te verklaren?

Aangezien het niet gaat om werkelijke zintuiglijke waarnemingen, zijn het producten van onze verbeelding, van onze mentale vermogens, zegt Spinoza. En dat is perfect mogelijk: terwijl onze zintuiglijke waarneming op geen enkele manier in de toekomst kan zien of horen, en geen enkel toekomstig feit enige invloed kan hebben op een gebeurtenis in het verleden, kunnen wij ons in onze verbeelding allerlei dingen voor de geest halen, ook wanneer die (nog) niet gebeurd zijn. Wanneer die dan later echt gebeuren, worden wij getroffen door de opvallende, soms verbijsterende overeenkomst tussen wat wij ons ingebeeld of gedroomd hebben en de gebeurtenis die daarop volgt. En dan zijn wij geneigd om tussen beide een oorzakelijk verband te zien, tegen wat wij als normaal beschouwen in.

Spinoza geeft een voorbeeld dat nauw aansluit met wat zijn vriend overkomen is. Een vader houdt heel veel van zijn zoon, de twee zijn zo nauw met elkaar verbonden dat ze wel in zekere mate één lijken. De vader voelt zo heel goed aan wat zijn zoon voelt en overkomt, en vanuit die vaderlijke bezorgdheid is het best mogelijk dat hij zich inbeeldt dat zijn zoon ziek wordt en sterft. Misschien is hij vroeger al eens ernstig ziek geweest en vreesde men voor zijn leven. Misschien heeft hij al een kind verloren, wat in de 17^de eeuw in elk gezin gebeurde. Misschien heeft de vader nog voor er duidelijke tekenen waren onbewust gemerkt dat het minder goed ging met zijn zoon. Misschien waren er nog andere verdoken of verdrongen redenen of oorzaken voor de nachtmerries van de vader.

Hoe dan ook, de dromen waren reëel, ook al waren het geen onbetwijfelbare zintuiglijke waarnemingen in wakende toestand. Er is dus geen reden om ze als onbestaand te beschouwen of ze als onbelangrijk af te doen. Het komt erop aan ze, om het met een anachronisme te zeggen, te duiden.

Spinoza geeft enkele omstandigheden aan waarin dergelijke illusies zich gemakkelijk kunnen voordoen: het moet gaan om een belangrijk feit, zoals in dit geval het overlijden van je kind; het moet iets zijn dat men zich gemakkelijk kan inbeelden, dus geen onmogelijke zaak, die we gemakkelijk als dusdanig identificeren, maar iets dat maar al te vaak werkelijk voorkomt; er mag niet te veel tijd verlopen tussen het voorteken en de gebeurtenis, anders herinneren we ons het voorteken misschien niet meer; merkwaardig is de laatste voorwaarde die hij aanhaalt: het moet gaan om mensen die lichamelijk en mentaal gezond zijn, en niet gekweld worden door allerlei zorgen en beslommeringen, lichamelijke kwalen of mentale stoornissen die de waarneming vertroebelen. Misschien verwijst dat naar de onverstoorde openheid die vereist is om adequaat symptomen (vestigia) van een dreigend gevaar of een mogelijke toekomstige evolutie, onbewust of bewust waar te nemen of intuïtief aan te voelen. Spinoza wijst ook op een eigenschap van onze herinnering: wij verbinden of associëren dingen met elkaar; als een gebeurtenis onder bepaalde omstandigheden heeft plaatsgevonden, dan zullen wij spontaan terugdenken aan die gebeurtenis wanneer die omstandigheden zich weer voordoen, en omgekeerd. Pieter Balling hoorde in zijn droom gekreun, maar verbond dat toen niet met zijn zoon. Wanneer hij later zijn zoon hoort kreunen tijdens zijn ziekte en doodsstrijd, herinnert hij zich die droom.

In onze gedachten kunnen er beelden opdoemen op verschillende manieren: bijvoorbeeld en meestal tengevolge van onze zintuiglijke waarneming, maar evenzeer ten gevolge van andere prikkels (vestigia) die wij mentaal ondergaan of opvangen. Wij kunnen onze geliefde voor ons zien wanneer die aanwezig is, maar dat kan als het ware evengoed wanneer die niet aanwezig is, ook als hij of zij gestorven is. In dat laatste geval spreken we van een herinnering of in- of verbeelding. Wij kunnen, zo zegt Spinoza, enkel het verschil weten tussen realiteit en verbeelding, wanneer er iets is in onze verbeelding dat erop wijst dat het geen realiteit is, bijvoorbeeld wanneer wij plots een levendig beeld hebben van iemand, terwijl we weten dat die persoon overleden is. In wakende toestand zal een gezonde persoon dat verschil vrijwel steeds inzien. In slapende toestand of bij verminderd bewustzijn of mentaal vermogen, wordt die grens veel minder duidelijk.

Spinoza verwijst in zijn brief tweemaal naar vroegere geschriften over dit onderwerp, zonder specifiek te zeggen waar. Wellicht hoefde dat ook niet in een brief aan een van zijn meest intieme vrienden, Pieter Balling, die ongetwijfeld zeer vertrouwd was met Spinoza’s werk en misschien rond die tijd al bezig was met een Nederlandse vertaling van de eerste twee hoofdstukken van de Ethica. Wellicht herinnerde hij zich wat Spinoza had geschreven in de stellingen 16, 17 en 18 en de bijhorende bewijzen en verklaringen van het tweede deel. Sommige elementen uit deze brief zijn bijna woordelijk daar terug te vinden.

Ook hier bewijst Spinoza dat hij al wat een mens mentaal en emotioneel kan overkomen steeds ernstig neemt, er niet om lacht of er de spot mee drijft, het niet veroordeelt maar probeert te begrijpen wat er gebeurt. Wij mogen dus gerust spreken over dergelijke ‘voortekens’, omdat het gebeurtenissen zijn in ons leven, dingen die wel degelijk echt plaats vinden in ons denken en voelen, en daar zelfs een belangrijke plaats kunnen krijgen. Dat kan gaan om dromen, maar bijvoorbeeld ook om uitspraken die personen wel degelijk gedaan hebben, en die pas later een omineuze betekenis krijgen.

Alleen, zo waarschuwt Spinoza ons, mogen we nooit denken dat dergelijke gebeurtenissen echt een betrouwbare voorspellende waarde hebben, of dat er enig reëel verband zou bestaan tussen het voorteken en de gebeurtenis, dat met andere woorden iemand op een of andere manier een teken zou kunnen geven van wat er later zou gebeuren. Dat zou veronderstellen dat iemand vanuit de toekomst, wanneer het voorval heeft plaatsgegrepen, een voor-teken zou geven aan iemand in het verleden, of dat iemand op grond van de ‘kennis’ die hij of zij heeft van een gebeurtenis in de toekomst, op voorhand een aanwijzing zou geven van iets dat nog niet gebeurd is. Dat is niet mogelijk binnen de natuurwetten, en kan enkel berusten op waarschijnlijkheid en toeval. Zelfs de meest bizarre gevallen van ‘voortekens’ zijn uitsluitend het resultaat van de samenloop van alle omstandigheden, ook al ervaren wij dat soms totaal anders wegens de treffende overeenkomst tussen het ‘voorteken’ en de latere gebeurtenis.

Het gaat dus louter om dingen die zich afspelen in de realiteit van onze oneindig complexe mentale wereld, en zoals Spinoza zegt: tot wat een menselijk lichaam in staat is, dat weet niemand.

Dat helpt ons ook om de enigszins duister aandoende verwijzingen te begrijpen naar de ‘essentie’ van de zoon, waaraan de vader ‘deel heeft’. De hedendaagse wetenschap bevestigt ook in dit geval wat Spinoza zo scherp aangevoeld en verwoord heeft in zijn geschriften. Elke mens is bijzonder, door zijn unieke specifieke combinatie van genetische elementen zowel als door zijn hele individuele geschiedenis en Sitz im Leben, zijn biotoop. Maar no man is an island. Om bij Spinoza’s voorbeeld te blijven: de zoon heeft ten minste de helft van zijn genen gemeen met zijn vader; ten minste, want allicht zijn er bij de genen die hij van de moeder heeft ook genen die gelijk of gelijksoortig zijn met die van de vader. Bovendien hebben vader en zoon goeddeels een gemeenschappelijke geschiedenis en een gemeenschappelijke leefwereld.

We mogen hier gerust spreken van een transindividualiteit zoals Balibar die zo voortreffelijk beschreven heeft. Vader en zoon vormen inderdaad werkelijk een reële, levende eenheid, ze overlappen elkaar voor een stuk, zij hebben ten dele dezelfde essentie. En dat heeft zijn gevolgen: wat voortvloeit uit de essentie van de vader, zal ten dele ook voorkomen bij de zoon en vice versa. Zij zullen dezelfde dingen ervaren op dezelfde manier, ze op dezelfde manier aanvoelen. Er is tussen beiden een sterke, warme gemeenschappelijke empathie, die het mogelijk maakt dat zij elkaar woordeloos verstaan in een liefdevol onmiddellijk begrijpen met slechts de meest subtiele aanwijzingen. Die hoge gevoeligheid voor zelfs elkaars onbewuste signalen maakt het mogelijk dat zij intens communiceren op een niveau dat ons expliciete bewustzijn ver overstijgt. Het contact tussen hen is van een zeldzame diepgang die enkel mogelijk is tussen mensen die inderdaad deel hebben aan dezelfde transindividuele essentie.

Daar is niets mysterieus of paranormaals aan, het gebeurt gewoon binnen de fysische wetmatigheden. De oorzaak van de droom van vader Balling moeten we zoeken in de empathische verbondenheid met zijn zoon.

Wanneer Pieter Balling zich dus na de dood van zijn geliefde zoon op een dag een droom herinnert waarin hij zijn zoon hoort kreunen, voelt hij dat aan alsof hij zelf kreunt onder de pijn van zijn zoon, die hij lijfelijk aanvoelt. Ook al is zijn zoon er niet meer, toch is hij nog één met hem, omdat hij voor een stuk onontkoombaar identiek is met zijn zoon, fysiek en mentaal.

Het is die essentiële eenheid in verbondenheid met anderen, en in het bijzonder met onze geliefden, de levenden en de doden, die de kern uitmaakt van ons bestaan en er zin aan geeft.

Voor Arne, † 13 maart 1999

Karel D’huyvetters

Brief 17 (OP 30)

Aan de hooggeleerde en zeer wijze heer Pieter Balling

Dierbare vriend,

Uw jongste brief, als ik me niet vergis geschreven de 26^ste van vorige maand, is mij goed in handen gekomen. Hij heeft mij niet weinig met droefenis en bekommernis vervuld, hoewel die aanzienlijk gelenigd werden, toen ik de wijsheid en karaktersterkte overwoog waarmee je het noodlot, of wat men daaronder verstaat, hebt weten te boven te komen op het onzalige ogenblik dat het jou met zijn krachtigste wapens te lijf ging. Mijn bezorgdheid neemt echter nog van dag tot dag toe, en omwille van onze vriendschap vraag en bezweer ik je het niet te bezwaarlijk te vinden me uitvoerig te schrijven.

Laten we het nu hebben over al datgene waarvan je melding maakt: toen je zoon nog gezond en wel was, heb je hetzelfde gezucht gehoord als hij liet horen toen hij ziek was en kort nadien daaraan bezweek. Ik ben van oordeel dat dit in werkelijkheid geen gezucht was, maar niets anders dan je verbeelding. Je zegt immers dat wanneer je wakker werd en je aandachtig probeerde het te horen, je die zuchten niet net zo duidelijk hoorde zoals tevoren, of daarna, toen je weer in slaap gevallen was. Dit toont werkelijk aan dat die zuchten niets anders waren dan louter inbeelding; wanneer je je verbeelding de vrije loop liet, kon ze immers inderdaad het gezucht nauwkeuriger en levendiger oproepen dan op het ogenblik dat je ontwaakte en in een bepaalde richting luisterde. Wat ik hier beweer, kan ik bevestigen en samen uitleggen met een ander geval, dat mij een voorbije winter overkwam in Rijnsburg.

Toen ik op een morgen, toen het al klaar was, ontwaakte uit een zeer onaangename droom, kwamen de beelden die in mijn slaap waren opgekomen, mij zo levendig voor de ogen, als waren het echte dingen, in het bijzonder het beeld van een zwarte, schurftige Braziliaan, die ik tevoren nog nooit gezien had. Dat beeld verdween grotendeels wanneer ik probeerde met iets anders tot aangenamere gedachten te komen en mijn blik strak richtte op een boek of iets anders. Maar zodra ik weer wegkeek van dat voorwerp en mijn blik niet strak gericht hield op iets, verscheen hetzelfde beeld van diezelfde Ethiopiër met dezelfde levendigheid keer op keer opnieuw, tot het stilaan helemaal verdween. Ik meen dat wat mij overkwam in mijn innerlijk aanvoelen van het gezichtsvermogen, bij jou gebeurde voor het gehoor. Maar dat is wel een heel ander verhaal, en in jouw geval gaat het om een voorteken van iets, in het mijne echter niet. Wat ik je nu zal vertellen, zal een en ander duidelijk maken.

Een product van de verbeelding vindt zijn oorsprong ofwel in de onze lichamelijke toestand, ofwel in de mentale. Om alle wijdlopigheid te vermijden, zal ik dat voor het ogenblik enkel bewijzen vanuit de ervaring. Wij ondervinden dat koortsaanvallen en andere lichamelijke aandoeningen de oorzaak zijn van waanbeelden, en dat mensen die dik bloed hebben zich niets dan vechtpartijen, ergernis, moordpartijen en soortgelijke dingen inbeelden. Wij stellen ook vast dat de verbeelding in die zin enkel door onze gemoedstoestand bepaald wordt. Ons gemoed volgt immers in alle gevallen, zo ervaren wij toch, in de voetsporen van het intellect, en rijgt zijn beelden en woorden ordelijk aaneen en verbindt ze onderling, zoals het intellect doet met zijn bewijsvoeringen, in die mate zelfs dat wij nauwelijks iets kunnen begrijpen, tenzij de verbeelding daarvan een zeker beeld gevormd heeft op grond van een aanwijzing.

Ik beweer nu dat indien dit zo is, al de producten van onze verbeelding die voortkomen uit lichamelijke oorzaken, nooit voortekens kunnen zijn van toekomstige zaken; hun oorzaken houden immers geen enkele toekomstige zaak in. Maar een product van onze verbeelding, of beelden, die hun oorsprong vinden in de gemoedsgesteltenis, kunnen wel een voorteken zijn van een toekomstige zaak; wij kunnen immers mentaal iets in de toekomst voorvoelen op confuse wijze. Om die reden kan men zich iets zo vast en levendig inbeelden, alsof het precies op die manier aanwezig was.

Om een voorbeeld te nemen dat op het jouwe gelijkt: een vader houdt zo van zijn zoon dat hij en zijn geliefde zoon als het ware één en hetzelfde zijn. En zoals ik bij een andere gelegenheid heb aangetoond: er moet noodzakelijkerwijs in het Denken een idee bestaan van de essentie van de gemoedsaandoeningen van de zoon en van al wat daaruit voortkomt. Door de vereenzelviging die de vader heeft met de zoon, is hij een deel van de zoon die hij zich herinnert en daarom moet ook noodzakelijkerwijs het gemoed van de vader deel hebben aan het idee van de essentie van de zoon, zoals ik op een andere plaats uitvoeriger heb aangetoond. En verder, omdat het gemoed van de vader mentaal deel heeft aan datgene wat uit de essentie van de zoon voortkomt, kan hij, zoals ik zei, zich iets van datgene wat uit diens essentie voortkomt zo levendig inbeelden, alsof het bij hem aanwezig was, zeker onder volgende voorwaarden: 1° als het voorval dat de zoon zal overkomen in zijn later leven, opmerkelijk is; 2° als het van dien aard is dat we het ons gemakkelijk kunnen inbeelden; 3° als het ogenblik waarop dat voorval zich voordoet niet al te veraf is; 4° en ten slotte als ons lichaam in goede staat is, en niet alleen wat de gezondheid betreft: het moet eveneens vrij zijn en zonder zorgen en beslommeringen die de waarneming van buitenaf verstoren. Daartoe kan ook dit nog bijdragen, namelijk dat wij denken aan dingen die meestal gelijksoortige ideeën opwekken. Bijvoorbeeld: wanneer wij tijdens het spreken met deze of gene persoon zuchten horen, dan zal het vaak zo zijn dat wanneer wij weer aan die persoon denken, die zuchten die wij met onze oren gehoord hebben toen we met hem spraken, opnieuw in onze herinnering komen.

Dierbare vriend, dat is mijn mening over de vraag die je me stelde. Ik geef toe, het was een kort antwoord, en met opzet: ik heb je daarmee de gelegenheid willen geven om me te schrijven bij de eerstvolgende gelegenheid &c.

Voorburg, 20 juli 1664

Vertaling © 2014 Karel D’huyvetters

In het scholium van de achtste stelling van het tweede deel van de Ethica gebruikt Spinoza een geometrisch voorbeeld, zoals hij wel meer doet (E1p15s, E2ax2, Brief 12, naast wiskundige voorbeelden, zoals in E2p40s2 en par., Brief 56). Dat is inderdaad niet verwonderlijk in een werk dat in zijn titel aangeeft dat de bewijsvoering op geometrische wijze gebeurt. Spinoza was duidelijk erg onder de indruk van de onweerlegbare bewijskracht van mathematische en geometrische stellingen.

Spinoza vermeldt het voorbeeld in E2p8c echter quasi terloops, en ook de meeste commentatoren besteden er nauwelijks aandacht aan. Wanneer men echter ten volle de bewijs- of illustratieve kracht van dit voorbeeld wil inzien, is het noodzakelijk dat men het ook begrijpt.

Spinoza begint met een ontwijkend manoever: ‘Wanneer iemand een voorbeeld zou wensen ter verdere verduidelijking hiervan [namelijk van de stelling zelf, haar bewijs en het bijhorende corollarium], dan kan ik er echt niet een geven dat de zaak waarover het hier gaat, en die uniek is, adequaat verklaart. Ik zal echter toch proberen dat zo goed als mogelijk te illustreren.’

We laten hier echter de grond van de zaak buiten beschouwing, en richten ons uitsluitend op het begrijpen van het geometrisch voorbeeld.

‘Welnu, de cirkel is van dien aard, dat rechthoeken van alle rechte lijnstukken die elkaar daarbinnen snijden, onder hun segmenten onderling gelijk zijn.’

Spinoza gaat ervan uit dat iedereen weet waarover het gaat. Dat lijkt echter een gewaagde veronderstelling, een uitdagende retorische wending die Spinoza niet vreemd is. Hij weet (cf. infra) natuurlijk dat de stelling juist is, weet ook dat niet iedereen dat weet of meteen inziet, maar doet alsof zijn neus bloedt en legt zo de verantwoordelijkheid bij de (ijverige) lezer, die na enig nadenken en zoekwerk uiteindelijk zal moeten toegeven dat de stelling inderdaad juist en bewezen is.

Een eerste bevreemdend element is ‘onder hun segmenten’, dat hier letterlijk vertaald is: sub segmentis. Een cirkelsegment is volgens Van Dale een ‘deel van een cirkel ingesloten door een koorde en een cirkelboog’. Wat betekent dan dat ‘sub segmentis’? De nietsvermoedende lezer zal vruchteloos zoeken naar een oplossing op basis van deze definitie. Het gaat in het voorbeeld inderdaad niet over cirkelsegmenten, maar om de segmenten of delen van de beide rechte lijnstukken die elkaar snijden (sese invicem secantium). Secare betekent snijden, en datgene wat gesneden wordt, valt uiteen in segmenten, een woord met dezelfde stam als secare. Van Dale geeft zes omschrijvingen van ‘segment’, maar enkel de meest algemene is hier van toepassing: een deel van een geheel. In het Frans daarentegen is een segment een deel van een rechte begrensd door twee punten. Het gaat dus om twee lijnstukken getrokken binnen een cirkel en die elkaar snijden. Op de afbeelding die Spinoza geeft, snijden die twee lijnstukken elkaar in een rechte hoek, wat ons zou kunnen verleiden om te denken dat dit relevant is, maar in de tekst wordt niet gezegd dat dit een voorwaarde is, er is niets vermeld over de hoek waarin ze elkaar snijden, noch over de plaats van het punt waarop ze elkaar snijden. Wij mogen dus aannemen dat de stelling geldt voor alle gevallen.

Spinoza gaat verder: ‘Er zijn dus in een cirkel oneindig veel rechthoeken die onderling aan elkaar gelijk zijn; nochtans kunnen we van geen enkele daarvan zeggen dat hij bestaat, tenzij voor zoverre de cirkel bestaat; en men evenmin kan zeggen dat het idee van een van die rechthoeken bestaat, tenzij voor zoverre het [idee] vervat ligt in het idee van de cirkel.

Wat zijn dan al die rechthoeken die aan elkaar gelijk zijn? Er zijn immers helemaal geen rechthoeken te merken in de afbeelding, en het is voorlopig niet duidelijk hoe die zouden kunnen gevormd worden. Maar Spinoza gaat onverstoord verder en zegt: ‘Stel je nu voor dat van dat oneindige aantal [mogelijke rechthoeken] er slechts deze twee bestaan, namelijk E en D.’ Op de afbeelding zien we enkel twee lijnstukken, aangeduid met die letters. Quid?

Nu we weten dat sub segmentis slaat op de twee delen waarin elk van de twee lijnstukken, of de twee koorden, elkaar snijden, komen we tot de vaststelling dat het gaat om de rechthoeken die als basis en hoogte de afmetingen hebben van de delen waarin elk lijnstuk verdeeld is. Lijnstuk D bestaat dus uit twee delen, met als deelpunt de plaats waar lijnstuk E lijnstuk D snijdt. En lijnstuk E bestaat uit twee delen, met als deelpunt het snijpunt met D. De stelling is nu, dat de rechthoek gevormd met de onderdelen van D gelijk is aan de rechthoek gevormd met de onderdelen van E.

Spinoza heeft ons een beetje op het verkeerde been gezet; eerst door zijn ‘sub segmentis’, en vervolgens door te spreken over ontelbare rechthoeken die ‘in’ een cirkel kunnen gevormd worden. Wat dat laatste betreft, gaat het in werkelijkheid om rechthoeken die gevormd worden met de twee delen van een koorde van een cirkel die een andere koorde snijdt.

Spinoza zegt emfatisch dat het tot de aard (natura) van de cirkel behoort dat zulks het geval is, en daagt de lezer daarmee als het ware tersluiks een beetje uit: hij levert geen bewijs van zijn stelling, ze is immers vanzelfsprekend. Als je niet inziet dat het inderdaad zo is, ben je een oen; als je hem echter op zijn woord gelooft, ben je goedgelovig, want zo evident is dat nu ook weer niet.

Spinoza heeft dat voorbeeld niet zelf bedacht of zomaar willekeurig gekozen. Het gaat immers om stelling 35 uit het derde deel van Euclides’ Stoicheia of Elementa, die Spinoza hier letterlijk citeert. Men mag aannemen dat de gemiddelde 17^de-eeuwse lezer net zomin als de hedendaagse spontaan die identificatie zal maken. En beide lezers zullen ongetwijfeld in dezelfde mate onbekwaam zijn om die stelling ook nog eens te bewijzen.

Wie daar zin in heeft, kan de bewijsvoering nalezen bij Euclides zelf, hier is een link naar een Engelse vertaling: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII35.html. Dat bewijs maakt gebruik van verscheidene andere stellingen, die op hun beurt verre van evident zijn. In haar eenvoudigste vorm, die Spinoza hier echter niet afgebeeld heeft, is de stelling natuurlijk wel evident: indien de beide koorden door het middelpunt gaan en dus elkaar daar snijden, zijn de lijnstukken alle vier even lang, en zijn de vierkanten die je ermee vormt eveneens even groot. Alle rechthoeken die je vormt wanneer de koorden niet allebei door het middelpunt gaan, vertonen dezelfde eigenschap, maar het bewijs daarvan is behoorlijk omslachtig.

Spinoza besluit het scholium als volgt: ‘Het is voorwaar zo dat ook de ideeën van [elk van die twee rechthoeken E en D] niet alleen bestaan in zoverre ze uitsluitend vervat liggen in het idee van de cirkel, maar tevens in zoverre [deze ideeën] het bestaan inhouden van die rechthoeken, en zo komt het dat ze zich onderscheiden van de ideeën van de overige rechthoeken.’

Met deze toelichting zal de lezer dan naar wij verhopen met meer succes zelf stelling E2p8, haar bewijsvoering en corollarium te lijf kunnen gaan.